信息系統(tǒng)項(xiàng)目管理師計(jì)算題考點(diǎn)：線(xiàn)性規(guī)劃建模

考點(diǎn)分析：該考點(diǎn)經(jīng)?？?，需要大家掌握，只看理論是很難看懂的，需要大家多做題進(jìn)行理解。

就其實(shí)質(zhì)而言，線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題是一類(lèi)特殊的極值問(wèn)題，它是在一定的線(xiàn)性約束條件下，追求某一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型包含三個(gè)要素：決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件。

線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題：求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)在線(xiàn)性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，通常稱(chēng)為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。只含有兩個(gè)變量的簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題可用圖解法來(lái)解決。

溫馨提示：其實(shí)理論概念性的東西大家看看官方教程，了解下就可以了，重要的是怎么計(jì)算。

以下用一個(gè)例子為大家詳細(xì)說(shuō)明：

某企業(yè)需要采用甲、乙、丙三種原材料生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)兩種產(chǎn)品所需原材料數(shù)量、單位產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)以及企業(yè)現(xiàn)有原材料數(shù)如表所示：

則公司可以獲得的最大利潤(rùn)是(1)萬(wàn)元。取得最大利潤(rùn)時(shí)，原材料(2)尚有剩余。

(2)

A.21

B.34

C.39

D.48

(2)

A.甲

B.乙

C.丙

D.乙和丙

【答案】B、A

解題步驟：

1、確定決策變量：根據(jù)影響所要達(dá)到目的的因素找到?jīng)Q策變量。一般為一個(gè)數(shù)量表示的量化方案或措施，即要確定的自變量。

本題說(shuō)明了生產(chǎn)兩種產(chǎn)品所需原材料數(shù)量、單位產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)以及企業(yè)現(xiàn)有原材料數(shù)，問(wèn)的是最大利潤(rùn)及最大利潤(rùn)時(shí)的原材料數(shù)量，所以這個(gè)“變量”就是“產(chǎn)量(噸)”。我們?cè)O(shè)生產(chǎn)的產(chǎn)品I為x噸，產(chǎn)品II為y噸時(shí)，獲得利潤(rùn)最大。

2、確定目標(biāo)函數(shù)：由決策變量和所要達(dá)到目的之間的函數(shù)關(guān)系確定目標(biāo)函數(shù)。

本題的目的是求利潤(rùn)最大，我們?cè)O(shè)為Smax，根據(jù)上述確定的變量及題目表格中的數(shù)據(jù)，確定目標(biāo)函數(shù)公式為：Smax=9x+12y

3、確定約束條件：由決策變量所受的限制條件確定決策變量所要滿(mǎn)足的約束條件。

本題的約束條件體現(xiàn)在原材料的供應(yīng)有限量。因?yàn)樯a(chǎn)產(chǎn)品I所需原材料甲為1噸，生產(chǎn)產(chǎn)品II也需要1噸，但現(xiàn)有原材料甲為4噸，所以：1x+1y≤4，即x+y≤4。

同理可得原材料乙的約束條件為：4x+3y≤12，原材料丙的約束條件為：x+3y≤6

根據(jù)以上3個(gè)要素，我們就可以得到線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：

求x、y的值，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到Smax=9x+12y，且滿(mǎn)足約束條件：

x+y≤4

4x+3y≤12

x+3y≤6

4、求解

方法一：畫(huà)圖求解(需要掌握，畫(huà)圖的話(huà)簡(jiǎn)單直觀，很容易得出答案)

這一步用文字很難讓大家明白，大家可以去看一些視頻講解，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是：

(1)在平面直角坐標(biāo)系xy軸上將上述約束條件不等式畫(huà)出來(lái)

(2)然后畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)等于0的直線(xiàn):

(3)移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)直線(xiàn)，求最大值時(shí)沿著矢量(目標(biāo)函數(shù)增加)的方向移動(dòng);求最小值時(shí)沿著矢量(目標(biāo)函數(shù)減少)的反方向移動(dòng);

(4)目標(biāo)函數(shù)直線(xiàn)與可行域邊緣相交的點(diǎn)的坐標(biāo)就是最優(yōu)解

從上圖可以很直觀的看到，x=2，y=4/3時(shí)為最優(yōu)解，有些考生可能會(huì)說(shuō)，我能看到x=2，但y=4/3看不到啊!你隨便代入一下那兩條交叉線(xiàn)公式中的任意一條不就得到了嗎，比如x+3y≤6，代入x=2，y≤4/3。

Smax=9x+12y=18+16=34

取得最大利潤(rùn)時(shí)，原材料甲使用：2+4/3

原材料乙使用：2×4+3×4/3=12

原材料丙使用：2+3×4/3=6

所以，取得最大利潤(rùn)時(shí)，原材料甲仍有剩余。

方法二：這題也可以直接組合不等式求解

這道題，我們先把：4x+3y≤12;x+3y≤6放一起求出x。很容易得到，x≤2，y≤4/3，然后代入x+y≤4，是符合該不等式的，所以得出該題答案，生產(chǎn)的產(chǎn)品I為2噸，產(chǎn)品II為4/3噸時(shí)，獲得利潤(rùn)最大，即Smax=34。

有些考生可能會(huì)問(wèn)為什么不是把x+y≤4，4x+3y≤12放一起求出x、y，然后代入x+3y≤6求解，當(dāng)然可以，3個(gè)隨意組合兩個(gè)，然后代入另外一個(gè)都可以，不過(guò)最終需要代入之后不等式成立才可以。比如x+y≤4，4x+3y≤12放一起求出x、y分別為x≤0，y≤4，將結(jié)果代入x+3y≤6不成立。那么我就要換另外一組求解。

【真題演練】