引言

 前兩天一個(gè)朋友給我打電話，問我如何估計(jì)項(xiàng)目開發(fā)時(shí)間。對(duì)此我很詫異，問他以前他們是怎么估計(jì)的，他說以前基本都是大家開個(gè)會(huì)，大約都說說自己意見，最后負(fù)責(zé)人一拍腦袋，給出一個(gè)時(shí)間。不過這次遇到一個(gè)非常認(rèn)真的客戶，要求不但要估計(jì)出項(xiàng)目開發(fā)時(shí)間，還要明確說明具體的依據(jù)和估算方法，這下我這朋友有點(diǎn)犯難，才詢問我。后來我翻閱了一些數(shù)理統(tǒng)計(jì)和項(xiàng)目估算方面的資料，告訴了他利用一元線性回歸分析估計(jì)軟件項(xiàng)目開發(fā)時(shí)間的方法。想到這種估算需要在一些開發(fā)團(tuán)隊(duì)很常見，所以在這里整理成文。

問題的定義及數(shù)學(xué)模型

這里我們僅考慮比較簡(jiǎn)單的一元回歸問題，即通過單一的Proxy預(yù)測(cè)項(xiàng)目開發(fā)時(shí)間。這里先說一下什么叫Proxy。Proxy叫做代理變量，簡(jiǎn)單來說就是估計(jì)項(xiàng)目開發(fā)時(shí)間的數(shù)理依據(jù)。說白了，就是我們預(yù)測(cè)開發(fā)時(shí)間，總要有個(gè)根據(jù)，例如需求中用例個(gè)數(shù)、概要設(shè)計(jì)中的實(shí)體個(gè)數(shù)、數(shù)據(jù)庫(kù)中的表的數(shù)量等等。設(shè)Proxy為x，項(xiàng)目開發(fā)時(shí)間為y，那么可以得到y(tǒng)=f(x)，學(xué)過初等數(shù)學(xué)的都可以看懂，就是說開發(fā)時(shí)間是Proxy的一個(gè)函數(shù)，如果我們既知道了新項(xiàng)目的x，又知道函數(shù)f，那么y就出來了?？上煜履挠羞@么好的事，我們現(xiàn)在既不知道f，又不知道x，別說x的值了，甚至我們都不知道該用哪個(gè)Proxy做x。

不過也不必悲觀，經(jīng)過上面分析，我們至少明確了我們奮斗的方向：

1、找出候選的Proxy。

2、選擇最合適的Proxy作為x。

3、得到x的值。

4、確定函數(shù)f。

5、得出y。

下面我們一步一步解決各個(gè)問題。

找出候選的Proxy

雖然一個(gè)項(xiàng)目的特征量很多，不過可不是隨便一個(gè)特征量都可以當(dāng)做Proxy的。要成為Proxy，至少要滿足如下四個(gè)條件。

1）Proxy的值應(yīng)該和工作量緊密相關(guān)。

這個(gè)不用多解釋了吧，就是說Proxy的值和y的值要有相關(guān)性。關(guān)于“相關(guān)性”的概念這里先定性說一下，定量分析后續(xù)會(huì)講到。

2）Proxy應(yīng)該是能明確得出值的，沒有二義性。

這是說Proxy應(yīng)該對(duì)應(yīng)一個(gè)明確數(shù)值，是一就是一，是二就是二，不能取“不錯(cuò)”、“挺多”這種值。

3）Proxy應(yīng)該在項(xiàng)目開始階段可以得出或能較精確估計(jì)出。

這個(gè)開始階段最晚不能晚于概要設(shè)計(jì)，因?yàn)楣浪愣际且婚_始進(jìn)行，所以Proxy一定要在起始階段就能得出，否則項(xiàng)目結(jié)束了誰(shuí)還搞估算，實(shí)際值都出來了。

4）Proxy對(duì)于不同的實(shí)施方案是敏感的。

就是說當(dāng)開發(fā)方法、開發(fā)過程等因素變化時(shí)，Proxy應(yīng)該具有一定的敏感性。

經(jīng)過上述分析，我想選用什么作為Proxy大家心里都有點(diǎn)譜了。一般來說，在估算時(shí)常被作為Proxy的有需求分析中用例數(shù)量、需求分析中功能模塊數(shù)量、概要設(shè)計(jì)中實(shí)體數(shù)量和數(shù)據(jù)庫(kù)設(shè)計(jì)中表的數(shù)量。當(dāng)然，各位也可以根據(jù)上述要求選擇自己的Proxy。在本文中，我們暫且選擇用例數(shù)量、實(shí)體數(shù)量和表數(shù)量三個(gè)Proxy作為候選。

選擇最合適的Proxy作為x

這里所謂的“最合適”，在數(shù)學(xué)上的意義就是和開發(fā)時(shí)間y的相關(guān)性最強(qiáng)。那么什么是相關(guān)性呢，從直觀意義上，兩個(gè)變量的相關(guān)性是指兩個(gè)變量關(guān)聯(lián)的緊密程度，數(shù)學(xué)上可以用相關(guān)系數(shù)表示。相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式如下：

至于這個(gè)公式為什么能反映出兩個(gè)變量的相關(guān)性，可以去參考高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)相關(guān)資料，本文不再贅述，只是順便說一下，r的范圍在-1~1之間，絕對(duì)值越大代表相關(guān)性越強(qiáng)，如果為正值則表示兩個(gè)變量正相關(guān)，否則為負(fù)相關(guān)。知道了這個(gè)，我們這一步驟的目的就是找出候選Proxy中與y相關(guān)系數(shù)最大的作為x。

不過，這數(shù)據(jù)從哪里來呢？這就要從以前做過的項(xiàng)目中提取了。查閱朋友所在團(tuán)隊(duì)最近做過的5個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)資料（這里當(dāng)然歷史項(xiàng)目越多越好，不過筆者這個(gè)朋友的團(tuán)隊(duì)只有5個(gè)項(xiàng)目的記錄），得到如下數(shù)據(jù)：

項(xiàng)目工期（y）：     424     267     90     331     160     （人時(shí)）

用例數(shù)量（x1）：   37  20  6  18  12

實(shí)體數(shù)量（x2）：   15  9    4  11  14

數(shù)據(jù)表數(shù)量（x3）： 25 18  7  16 18

下面就是計(jì)算各個(gè)相關(guān)系數(shù)了，計(jì)算相關(guān)系數(shù)是一項(xiàng)機(jī)械且乏味的活動(dòng)，一般都會(huì)交由相應(yīng)的工具去完成。不過您要是感興趣，也可以自己代入上述公式手算。下圖是我用Excel計(jì)算的結(jié)果：

圖1

一般來說，|r|大于0.7就有很好的相關(guān)性了，而從計(jì)算結(jié)果可以看出，用例數(shù)量x1和工期y的相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.93，最為優(yōu)秀，而數(shù)據(jù)表數(shù)量x3也達(dá)到0.83，唯有實(shí)體數(shù)量x2的相關(guān)系數(shù)僅為0.65，質(zhì)量較差。因?yàn)閨r(x2,y)|<0.7，所以這里首先排除掉。

到了這里似乎我們可以順利成章選擇x1作為最終Proxy，但是還有一點(diǎn)要考慮，就是顯著性。所謂顯著性就是在偶然情況下得到此結(jié)果的概率，如果顯著性不足，說明這個(gè)結(jié)果不可靠。顯著性t值的計(jì)算公式如下：

因?yàn)閚=5，這里自由度為3，然后查詢t分布表，得到95%預(yù)測(cè)區(qū)間為3.182。因?yàn)橐话泔@著性<0.05則認(rèn)為顯著性較好，所以如果t的值大于3.182，我們則可以接受。不過如果使用工具的話，一般可以用t檢測(cè)直接得出顯著性，這里我用Excel得到r(x1,y)的顯著性為0.006，r(x3,y)的顯著性為0.007（如圖2所示），都遠(yuǎn)小于0.05，顯著性均非常好。所以根據(jù)擇優(yōu)錄取原則，我們選擇x1：需求文檔中用例數(shù)量作為預(yù)測(cè)Proxy。

圖2

得到x的值

在上文中，我們通過相關(guān)性和顯著性分析，最終決定使用需求文檔中的用例數(shù)量作為x。下面就是要確定x的值，這個(gè)不必多說，直接從需求文檔中得到相應(yīng)的數(shù)量即可。

確定相關(guān)函數(shù)f

知道了x的值，下面就是要確定相關(guān)函數(shù)了。這一步是最艱難也是最有技術(shù)性的，因?yàn)橄嚓P(guān)函數(shù)不但和數(shù)理因素相關(guān)，還與開發(fā)團(tuán)隊(duì)、團(tuán)隊(duì)中的人以及管理方法有關(guān)。如果人員變動(dòng)很大或管理方法做了很大的調(diào)整，歷史數(shù)據(jù)可能就不具備參考價(jià)值了。不過如果團(tuán)隊(duì)的開發(fā)水平和管理方法沒有重大變動(dòng)，這個(gè)函數(shù)還是相對(duì)穩(wěn)定的。

在函數(shù)選型上，一般會(huì)選擇線性函數(shù)，當(dāng)然我個(gè)人對(duì)此是十分懷疑的，但是這里為了簡(jiǎn)單起見，我們姑且照例使用線性函數(shù)作為預(yù)測(cè)模型。這樣可以建立一元線性回歸模型如下：

這個(gè)函數(shù)并不是簡(jiǎn)單的線性函數(shù)，而是包含了一個(gè)隨機(jī)變量ε，這是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。上述模型的直觀意義可以如下描述：a代表與x即用例數(shù)量無關(guān)的起始時(shí)間，b代表每一個(gè)用例所耗費(fèi)的平均時(shí)間，而ε代表開發(fā)中的不確定性。在不同的團(tuán)隊(duì)中或不同的管理方法下，a,b和ε都是不一樣的，但是當(dāng)團(tuán)隊(duì)和管理方法相對(duì)穩(wěn)定，可以認(rèn)為a,b和ε是可通過歷史數(shù)據(jù)估計(jì)的。而因?yàn)?epsilon;的期望為0，所以只要給出a和b的合理估計(jì)，就可以得到y(tǒng)的一個(gè)無偏估計(jì)。

下面我們估計(jì)a和b的值。估計(jì)方法有很多，如曲線擬合法或最小二乘法。這里我們采用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)。

最小二乘法估計(jì)的基本原理如下：

求極值可以使用微積分中的求極值方法，首先令Q(a,b)對(duì)a和b分別求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)為零，得如下方程組：

經(jīng)過一系列計(jì)算和推導(dǎo)，最終可得到:

將以前的歷史數(shù)據(jù)代入上述方程，就可以得到a和b的最小二乘估計(jì)。同樣，這種機(jī)械而乏味的計(jì)算一般交由工具去完成。我用Excel得到a和b的估計(jì)分別為56.251和10.653。Excel分析結(jié)果如圖3所示：

圖3

根據(jù)估計(jì)結(jié)果，我們可以得出相關(guān)函數(shù)為y=56.251+10.653。我們還可以證明，這個(gè)估計(jì)是一致最小方差無偏估計(jì)，證明過程從略。

現(xiàn)在我們不但得到了相關(guān)函數(shù)，還得到了如下有用的數(shù)據(jù)結(jié)果：這個(gè)團(tuán)隊(duì)在目前的管理模式下，開發(fā)一個(gè)項(xiàng)目平均準(zhǔn)備時(shí)間為56.251人時(shí)，而平均每個(gè)用例開發(fā)耗時(shí)為10.653人時(shí)。

得出y

有了上面的結(jié)果，我們可以很輕易得出新項(xiàng)目的計(jì)劃工時(shí)。例如新項(xiàng)目有50個(gè)用例，代入可以得到y(tǒng)=56.251+10.653*50=588.901，約為589個(gè)人時(shí)，再假設(shè)團(tuán)隊(duì)中有3個(gè)開發(fā)人員，平均每周工作五天，每天工作8小時(shí)，就可以得到項(xiàng)目大約需要開發(fā)24.54個(gè)人日，開發(fā)周期約為5周。

后面的話

至此我們已經(jīng)完成了利用一元線性回歸模型對(duì)軟件工期的估計(jì)。但是不得不承認(rèn)，這個(gè)估計(jì)方法存在很多缺陷，如估計(jì)變量單一以及估計(jì)模型過于簡(jiǎn)單等等。實(shí)驗(yàn)證明，這種一元線性模型對(duì)中小型項(xiàng)目相對(duì)有效，如果團(tuán)隊(duì)比較大并且項(xiàng)目十分復(fù)雜，估計(jì)效果就不理想了。不過這篇文章給出了一種思路，就是如何利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)模型以及歷史經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)來估計(jì)新項(xiàng)目的工期。對(duì)于文中的具體方法則可以進(jìn)行諸多擴(kuò)展，例如使用多個(gè)估計(jì)代理進(jìn)行多元回歸分析、細(xì)化估計(jì)方法等等。例如PSP中就給出一種非常精細(xì)的PROBE估計(jì)法，有興趣的朋友可以參考。另外，除了求得估計(jì)值，還可以給出估值置信區(qū)間，甚至使用蒙特卡洛模擬技術(shù)進(jìn)行更復(fù)雜的分析，都可以得到更理想的估值。但是其核心思想與本文是相通的。